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对概率的讨论总是在一组固定的条件限制下进行的。
以前的讨论总是假定除此之外再无别的信息可供使用。 可是，有时我们却会碰到这样的情况，即已知某一事件B已经发生，要求另一事件A发生的概率。例如考虑有两个孩子的家庭，假定男女出生率一样，则两个孩子（依大小排列）的性别为（男，女），（男，男），（女，男），（女，女）的可能性是一样的。若以A记随机选取一个家庭中有一男一女这一事件，则显然P（A）＝1/2，但是如果预先知道这家庭中至少有一个女孩，那么上述事件的概率便应是2/3。 两种情况下算出的概率不同。这也很容易理解，因为在第二种情况下，我们多知道了一个条件：事件B（这一家庭至少有一女孩）发生，因此我们算得的概率事实上是"在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率"，这个概率我们将记之为P（A∣B）。
这种带有条件的概率很重要，下面我们就来研究它。在给出严格定义之前，先考察一些特殊的场合。 就从上述例子出发。总的可能出现的次数n＝4，有利场合数mA＝2，因此P（A）＝1/2；但是假如已知事件B发生，即至少有一个女孩，那么总的可能出现的次数mB＝3〔（男，女），（女，男），（女，女）〕，而有利场合（至少有一个女孩而且有一男一女）数mAB＝2，因此 P（A∣B）＝2 / 3＝mAB / mB＝（mAB /n）/（mB /n） ＝P（AB）/P（B） （1） 在一般场合，我们将把这个算式作为条件概率的定义。 定义：记P（A∣B）＝P（AB）/P（B）， （2） 并称P（A∣B）为在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率。 由（2）立刻得到P（AB）＝P（B）P（A∣B） （3） 这个等式有时被称为概率的乘法定理。 同样我们可以定义P（B∣A），这时有 P（AB）＝P（A）P（B∣A）＝P（B）P（A∣B）
前讲我们讨论了有关条件概率的定义和性质，下面让我们来看一下条件概率的应用。
例1：甲乙两城市都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道一年中雨天的比例甲城市占20％，乙城市占18％，两地同时下雨占12％。求 1，已知甲城市下雨，求乙城市下雨的概率； 2，已知乙城市下雨，求甲城市下雨的概率； 3，甲乙两城市至少有一城市下雨的概率。 解：以事件A记甲城市出现雨天，事件B记乙城市出现雨天，事件AB则为两地同时出现雨天。 已知P(A)＝0.20，P（B）＝0.18，P（AB）＝0.12， 因此， P（B∣A）＝P（AB）/P（A）＝0.12/0.20＝0.60 P（A∣B）＝P（AB）/P（B）＝0.12/0.18＝0.67 甲乙两城市至少有一城市下雨的概率等于甲城市下雨的概率加上乙城市下雨的概率再减去两城市同时下雨的概率，记此概率为P（AUB）。 P（AUB）＝P(A)＋P（B）－P（AB）＝0.26。
在彩票的选号过程中，若根据以往的开奖数据从而判断某个或某几个号码下一期肯定出现或肯定不出现，则中奖概率的计算也将用到条件概率。我们看一下下面这个简单的例子。
例2：某彩票的中奖规则为：从1、2、... 、6这六个号码中任意选出三个不同的号码，如果全对（顺序无关）则中一等奖，由前面学过的组合知识，我们很快可以计算得出一等奖的中奖概率，P＝C（3，3）/ C（3，6）＝1/20＝0.05。 假设本期开出的中奖号码为1、2、3。如果某位彩票预测专家根据历史数据推断本期中奖号码中必有2，那么中奖概率是多少呢？我们可以列出所有含有号码2的号码组合：（1,2,3）（1,2,4）（1,2,5）（1,2,6）（2,3,4）（2,3,5）（2,3,6）（2,4,5）（2,4,6）（2,5,6）。 显然P＝1/10＝0.1，中一等奖的概率大了一倍。而具体的组合计算公式为 P＝C（2，2）/ C（2，5）＝1/10＝0.1。 由上面这个例子可知，如果我们能以较大的把握确定下一期彩票中肯定会有某几个号码，那么中奖概率必能提高很多。 习题：条件同例2，若预见某个号码下一期肯定不出现，那么中一等奖的概率为多少？若预见某两个号码肯定不出现，概率又为多少呢？
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